blog posting

场论


[拼音]:changlun

[英文]:theory of fields

向量分析在数学、物理各分支中的一种非常有用的理论。

数量场与向量场

定义在空间某确定范围内每一点处的某种物理量称为一个场。用数学术语讲,就是在该范围内定义了一个点函式。不过这种量(函式值)可以是数量(如温度、电位等),也可以是向量(如速度、引力等)。前者称为数量场,后者称为向量场,分别记为u(P)与a(P),这里P是定义范围内的动点。

在空间引进一直角座标系Oxyz,P点就有座标(x,y,z),于是数量场u=u(P)就可写成

(1)

向量场A=A(P)就可写成

A=A(x,y,z)

={Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)}。(2)

它们分别就成为三个变数的数量函式与向量函式。引进座标系,是为了便于对它们进行运算和数学处理,而场本身的性质是与座标系的选取无关的。

下面恒假定以上所遇到的函式在场内都有连续偏导数,这种场也称为光滑场。

梯度

已给一数量场(1),定义一个向量函式

(3)

称为u的梯度,式中i、j、k分别为沿x轴、y轴、z轴正向的单位向量。这向量的方向指向u(P)增长最快的方向,其模(大小)就是这一最大增长率。所以向量函式(3)虽以座标形式给出,但它本身却与座标系的选择无关。以向量函式(3)构成的向量场,称为梯度场(grad是gradient的缩写,是“倾斜”的意思)。

引进一个形式向量的记号

则(3)就可简写成

一个向量场A, 如果它是某数量场 u的梯度场 A=grad u,则称a是一位势场,而u称为其位势。

散量

已给一向量场(2),引进一数量函式

(4)

称为A的散量(或散度)。在场内任取一立体区域V,其边界为一光滑曲面S,S上任意点的外法线单位向量记为n,则多元微积分中的奥斯特罗格拉茨基公式可以写成向量形式

如果把A 看成是场中流体稳定流动的速度,则此式右边表示流体通过曲面S流出去的流量,因此divA表示流体在场中各点发散的密度。前者是与座标选择无关的,所以后者也是如此。因此,divA构成一个数量场,称为a的散量场(div是divergence的缩写,是“发散”的意思)。在某点P 处divA>0,表明流体在该处有一源(有流体喷射到场内);divA<0,则表明流体在该处有一汇(有流体渗漏出场外)。

如果diva呏0,则称A为一管量场。

旋度

已知一向量场(2),定义一向量函式

(5)

称为A的旋度。在场中取一光滑曲面片S,其边界为一光滑封闭曲线L 。取定S的一侧作为正侧,正侧法线的单位向量记为n;由此诱导L的一正向,正向切线的单位向量记为t,则斯托克斯公式可改写为

如前把A理解为流体速度,则此式左边刻画著流体沿L转动的程度,是与座标无关的。由此也可证明rotA也与座标选择无关:其方向表明流体在一点附近绕怎样的轴旋转,其模则刻画著旋转的(角)速率之半。这就是说 rotA也是一个向量场,称作A的旋度场(rot是rotor的缩写,是“转动”的意思),也可记作curlA(curl是“鬈曲”的意思)。

如果rota呏0,则称a为一无旋场。

可以证明,无旋场与位势场这两概念是等价的。

如果不用直角座标系,而改用别的正交座标系,则梯度、散量、旋度也有相应的表达公式,不过一般比较复杂。

更多信息: 亚美 澳门新京葡app